Bài tập 30, § 5

Cho $G$ là một nhóm và cho $d$ là một mêtric trên $G$ sao cho, đối với tôpô $\mathscr{T}$ xác định bởi $d$ trên $G$, các ánh xạ $y \to x_0y$ và $y \to yx_0$ từ $G$ vào $G$ là liên tục với mỗi $x_0 \in G$.

a) Chứng minh rằng nếu $G$ đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}$, thì ánh xạ $(x, y) \to xy$ là liên tục trên $G \times G$ (sử dụng Bài tập 23).

b) Giả sử thêm rằng $\mathscr{T}$ có một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng khi đó ánh xạ $x \to x^{-1}$ là liên tục trên $G$, tức là tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc nhóm của $G$. [Trong nhóm $G \times G$, được trang bị tôpô $\mathscr{T} \times \mathscr{T}$, xét tập hợp $F$ gồm tất cả các điểm $(x, x^{-1})$ với $x \in G$; $F$ là đóng trong $G \times G$, và luật hợp thành $(x, x^{-1})(y, y^{-1}) = (xy, y^{-1}x^{-1})$ xác định một cấu trúc nhóm trên $F$; chứng minh rằng tôpô cảm sinh trên $F$ bởi tôpô của $G \times G$ là tương thích với cấu trúc nhóm này bằng cách sử dụng $a$]. Sau đó chứng minh, bằng cách lập luận như trong Bài tập 28 b), rằng phép chiếu $pr_1$ của $F$ lên $G$ là song liên tục.