Exercice 30, § 5

Soient G un groupe, d une distance sur G telle que, pour la topologie $\mathscr{T}$ définie par d sur G, toutes les translations $y \mapsto x_0 y$ et $y \mapsto y x_0$ soient continues ($x_0 \in G$, cf. III, p. 66, exerc. 2).

a) Montrer que si G est complet pour la topologie $\mathscr{T}$, l’application $(x, y) \mapsto xy$ est continue dans $G \times G$ (utiliser IX, p. 115, exerc. 21).

b) On suppose en outre que $\mathscr{T}$ admet une base dénombrable. Montrer alors que l’application $x \mapsto x^{-1}$ est continue dans G, autrement dit que la topologie $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de groupe de G. (Considérer, dans le groupe $G \times G$, muni de la topologie produit de $\mathscr{T}$ par elle-même, l’ensemble des points $(x, x^{-1})$, où x parcourt G; F est fermé dans $G \times G$, et la loi de composition $(x, x^{-1})(y, y^{-1}) = (xy, y^{-1}x^{-1})$ définit sur F une structure de groupe; montrer que la topologie induite sur F par celle de $G \times G$ est compatible avec cette structure de groupe en utilisant a). Prouver ensuite que la projection $pr_1$ de F sur G est bicontinue en raisonnant comme dans l’exerc. 28).