Bài tập 5, § 5

a) Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô và cho $A$ là một tập con không trù mật ở khắp nơi của $X \times Y$. Nếu tôpô của $Y$ có một cơ sở đếm được, hãy chứng minh rằng tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho tiết diện $A \cap \{x\} / Y$ của $A$ tại $x$ không không trù mật ở khắp nơi đối với $\{x\} \times Y$ là một tập hợp thưa trong $X$ (nếu $U$ là một tập mở khác rỗng bất kỳ trong $Y$, hãy chứng minh rằng tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $\{x\} \times U$ được chứa trong bao đóng của tiết diện của $A$ tại $x$ là một tập hợp không trù mật ở khắp nơi trong $X$).

b) Hãy chỉ ra bằng một ví dụ rằng kết quả của a) có thể sai nếu tôpô của $Y$ không có một cơ sở đếm được (lấy $X$ là một không gian Hausdorff không có điểm cô lập và $Y$ là tập hợp $X$ với tôpô rời rạc; và lấy $A$ là đường chéo của $X \times Y$).

c) Nếu $B, C$ lần lượt là các tập con của $X, Y$ và nếu một trong hai tập $B, C$ là thưa (lần lượt trong $X, Y$), thì $B \times C$ là thưa trong $X \times Y$. Ngược lại, nếu $B \times C$ là thưa trong $X \times Y$ và nếu tôpô của $X$ hoặc $Y$ có một cơ sở đếm được, thì một trong các tập $B, C$ là thưa.

d) Suy ra từ c) rằng nếu tôpô của một trong các không gian $X, Y$ có một cơ sở đếm được, thì $D(B \times C) = D(B) \wedge D(C)$ theo ký hiệu của Bài tập 3.