Exercice 5, § 5

a) Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, $A$ un ensemble rare dans l’espace produit $X \times Y$. Si la topologie de $Y$ admet une base dénombrable, montrer que l’ensemble des $x \in X$ tels que la coupe $A \cap (\{x\} \times Y)$ de $A$ suivant $x$ ne soit pas rare relativement à $\{x\} \times Y$ est un ensemble maigre dans $X$ (pour tout ensemble ouvert non vide $U$ dans $Y$, montrer que l’ensemble des $x \in X$ tels que $\{x\} \times U$ soit contenu dans l’adhérence de la coupe de $A$ suivant $x$, est un ensemble rare dans $X$).

b) Montrer par un exemple que le résultat de a) peut être en défaut si la topologie de $Y$ n’a pas une base dénombrable (prendre pour $X$ un espace séparé sans point isolé, pour $Y$ l’espace discret ayant même support que $X$, pour $A$ la diagonale de $X \times Y$).

c) Si $B \subset X, C \subset Y$ et si un des ensembles $B, C$ est maigre (dans $X$ et $Y$ respectivement), le produit $B \times C$ est maigre dans $X \times Y$. Réciproquement, si $B \times C$ est maigre dans $X \times Y$ et si la topologie de $X$ ou de $Y$ a une base dénombrable, l’un des ensembles $B, C$ est maigre.

d) Déduire de c) que si la topologie de l’un des espaces $X, Y$ admet une base dénombrable, on a (avec les notations de IX, p. 111, exerc. 3) $D(B \times C) = D(B) \times D(C)$.