Bài tập 1, § 6

a) Mọi không gian không chiều đều là chính quy hoàn toàn. Các không gian compact địa phương không chuẩn tắc được định nghĩa trong § 4, Bài tập 26 b) và § 5, Bài tập 15 là không chiều.

b) Một không gian tôpô $X$ được gọi là không chiều mạnh nếu với mỗi tập con đóng $A$ của $X$ và mỗi lân cận $U$ của $A$, có một lân cận vừa mở vừa đóng của $A$ được chứa trong $U$. Mọi không gian không chiều mạnh đều là chuẩn tắc. Một không gian chuẩn tắc là không chiều mạnh khi và chỉ khi compact hóa Stone-Čech của nó ($\S 1$, Bài tập 7) là hoàn toàn rời rạc [sử dụng Bài tập 17 c) của § 4].

c) Cho $X$ là một không gian Hausdorff không chiều mạnh và cho $(U_n)$ là một dãy tăng các tập hợp mở khác rỗng trong $X$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(G_n)$ gồm các tập hợp đôi một rời nhau vừa mở vừa đóng trong $X$, sao cho $G_n \subset U_n$ với mỗi $n$, và $\bigcup_n G_n = \bigcup_n U_n$ (định nghĩa các $G_n$ bằng quy nạp). Hơn nữa, nếu $X$ là hoàn toàn chuẩn tắc ($\S 4$, Bài tập 8), mọi tập hợp mở trong $X$ là hợp của một họ đếm được các tập hợp đôi một rời nhau vừa mở vừa đóng trong $X$.

$d)$ Cho $X$ là một không gian chuẩn tắc là hợp của một dãy $(A_n)$ các không gian con không chiều mạnh. Chứng minh rằng $X$ là không chiều mạnh. [Cho $B, C$ là hai tập hợp đóng rời nhau của $X$; định nghĩa bằng quy nạp hai dãy tăng $(G_n), (H_n)$ các tập hợp mở trong $X$ sao cho $\overline{G}_n \cap \overline{H}_n \neq \varnothing,\ A_n \subset G_n \cup H_n,\ B \cap A_n \subset G_n,\ C \cap A_n \subset H_n.$]