Exercice 1, § 6

a) Soient X un espace séparé, Y une partie de X telle qu’il existe sur Y une distance d compatible avec la topologie induite par celle de X et pour laquelle Y soit un espace métrique complet. Montrer que Y est intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans X. (Raisonner comme dans IX, p. 58, th. 1.)

¹ La proposition est inexacte lorsque G n’admet pas de base dénombrable, comme le montre l’exemple où G’ est le groupe $\mathbf{R}$ muni de la topologie de la droite numérique, G le groupe $\mathbf{R}$ muni de la topologie discrète, f l’application identique de G sur G’.

b) Soient $X$ un espace métrique complet, $Y$ une partie de $X$, intersection d’une famille dénombrable d’ensembles ouverts. Montrer qu’il existe sur $Y$ une distance pour laquelle $Y$ est un espace métrique complet, et qui définit sur $Y$ la topologie induite par celle de $X$ et une structure uniforme plus fine que celle induite par la structure uniforme de $X$ (cf. IX, p. 90, exerc. 25).