Bài tập 13, § 6

Cho $K$ là một tập compact con của $\mathbf{R}^2$. Với mỗi số thực $y$, gọi $\delta_1(K, y)$ [tương ứng $\delta_2(K, y)$] là đường kính của $K \cap ([0, +\infty[ \times \{y\})$ [tương ứng $K \cap ([-\infty, 0] \times \{y\})$]. Chứng minh rằng các ánh xạ $y \to \delta_1(K, y)$ và $y \to \delta_2(K, y)$ là nửa liên tục trên. Cho $\varphi$ là một ánh xạ liên tục tăng của $[0, +\infty]$ vào chính nó sao cho $\varphi(0) = 1$ và $\varphi(+\infty) = 2$, và đặt

Chứng minh rằng $f$ thỏa mãn các điều kiện (CA_I) và (CA_{III}) và ta có $f(K \cup K') \leq f(K) + f(K')$ với mỗi cặp các tập compact $K, K'$ của $\mathbf{R}^2$. Nhưng nếu $A$ là tập đóng được xác định bởi $x \geq 0$ và $0 \leq y \leq 1$, chứng minh rằng $f_*(A) = 1$ và $f^*(A) = 2$. \*