Exercice 13, § 6

Soient X un espace topologique dont tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages, Y un espace métrique complet, $f : X \to Y$ une application continue ouverte, B une partie fermée dénombrable de Y. Montrer qu’il existe une section continue de $f$ au-dessus de B, i.e. une application continue s de B dans X telle que $f(s(y)) = y$ pour tout $y \in B$. (Soit C l’ensemble des $y \in B$ tels qu’il existe un voisinage V de $y$ dans Y et une section continue de $f$ au-dessus de $V \cap B$. Montrer que l’ensemble fermé $B - C$ ne peut admettre de points isolés, et en conclure que $B = C$ en utilisant le th. de Baire).