Bài tập 14, § 6

Cho $X$ là một không gian mêtric được và cho $f$ là một độ đo dung lượng trên $X$ sao cho $f(A \cup B) \leq f(A) + f(B)$.

a) Với ký hiệu của Bài tập 12, chứng minh rằng $f^*(A \cup B) \leq f^*(A) + f^*(B)$ và $f_*(A \cup B) \leq f_*(A) + f_*(B)$ với hai tập con bất kỳ $A, B$ của $X$. [Nếu $K$ là một tập compact được chứa trong $A \cup B$, và $U$ là một tập mở chứa $B$, viết $K$ dưới dạng $K = (K \cap U) \cup (K \cap \overline{U})$.]

b) Cho $K$ là một tập con compact của $X$ có lực lượng của continuum, và cho $(A, B)$ là một phân hoạch của $K$ thành hai tập hợp sao cho mọi tập con compact của $A$ hoặc của $B$ đều đếm được [xem § 5, Bài tập 18 d)]. Chứng minh rằng nếu $f(\{x\}) = 0$ với mọi $x \in X$ và nếu $f(K) > 0$, thì cả $A$ lẫn $B$ đều không là đo được theo khả năng đối với $f$.