Exercice 14, § 6

a) Soient $X$ un espace séparé, $S$ un sous-espace souslinien de $X$. Montrer que l’ensemble $S$ est approchable dans $X$ (IX, p. 69). (Soient $P$ un espace polonais, $g$ une application continue de $P$ sur $S$, $(C_n, p_n, \varphi_n)$ un criblage de $P$ et $f$ l’application continue correspondante de $L(C)$ sur $P$ (avec les notations de IX, p. 65); on pose $h = g \circ f$, et pour tout $c \in C_n$, on désigne par $q_n(c)$ le sous-espace de $L(C)$ formé des suites $(c_k)$ telles que $c_n = c$. Soient $F_n(c) = h(q_n(c))$, $X_n(c) = g(\varphi_n(c)) \supset F_n(c)$, pour tout $c \in C_n$; on désigne par $Z_n(c)$ la réunion de $D(F_n(c))$ (IX, p. 111, exerc. 3) et d’un ensemble maigre dans $X$, tel que $F_n(c) \subset Z_n(c) \subset \overline{X_n(c)}$, de sorte que $Z_n(c)$ est approchable dans $X$. Montrer que

est maigre dans $X$, en remarquant que $F_n(c) = \bigcup_{p_n(c') = c} F_{n+1}(c')$; prouver d’autre part que l’ensemble $Z_n(c) - F_n(c)$ est contenu dans la réunion des ensembles $Y_m(d)$, où $m$ parcourt l’ensemble des entiers $\geq n$ et pour chaque $m, d$ parcourt l’ensemble des éléments de $C_m$ tels que $p_{nm}(d) = c$. Conclure que $F_n(c)$ est approchable). b) Donner un exemple d’application continue $f$ de $I = \{0, 1\}$ dans lui-même et d’un ensemble approchable $B \subset I$ tel que $f(B)$ ne soit pas approchable. (Utiliser l’exerc. 16 b) de IV, p. 64, et montrer qu’on peut prendre pour $B$ une partie de l’ensemble de Cantor $K$ telle que $f(B) = Z$ ait la propriété décrite dans l’exerc. 17 d) de IX, p. 114).