Bài tập 16, § 6

Cho $X, X'$ là hai không gian khả mêtric. Một ánh xạ $f : X \to X'$ được gọi là một ánh xạ Borel nếu, với mỗi tập con đóng $F'$ của $X'$, $\overline{f^{-1}(F')}$ là một tập hợp Borel trong $X$. Với mỗi số thứ tự đếm được chẵn (tương ứng. lẻ) $\alpha$, $f$ được gọi là thuộc lớp $\alpha$ nếu, với mỗi tập con đóng $F'$ của $X'$, $\overline{f^{-1}(F')}$ thuộc $\mathfrak{F}_\alpha(X)$ [tương ứng. $\mathfrak{G}_\alpha(X)$] (Bài tập 4); khi đó, với mỗi tập mở $G'$ trong $X'$, $\overline{f^{-1}(G')}$ thuộc $\mathfrak{G}_\alpha(X)$ [tương ứng. $\mathfrak{F}_\alpha(X)$]. Các ánh xạ Borel thuộc lớp 0 chính xác là các ánh xạ liên tục.

a) Hàm đặc trưng $\varphi_A$ của một tập con $A$ của $X$ thuộc lớp $\alpha$ khi và chỉ khi $A \in \mathfrak{F}_\alpha \cap \mathfrak{G}_\alpha$.

b) Cho $f : X \to X'$ là một ánh xạ thuộc lớp $\alpha$. Chứng minh rằng với mọi tập con $B' \in \mathfrak{F}_\beta(X')$ [tương ứng. $B' \in \mathfrak{G}_\beta(X')$], $\overline{f^{-1}(B')}$ thuộc $\mathfrak{F}_{\alpha+\beta}(X)$ [tương ứng. $\mathfrak{G}_{\alpha+\beta}(X)$]. (Dùng quy nạp siêu hạn theo $\beta$.)

c) Cho $f : X \to X'$ là một ánh xạ thuộc lớp $\alpha$ và cho $g : X' \to X''$ là một ánh xạ thuộc lớp $\beta$, trong đó $X''$ là một không gian mêtric thứ ba. Chứng minh rằng $g \circ f$ là một ánh xạ Borel thuộc lớp $\alpha + \beta$.

d) Với mỗi thứ tự đếm được chẵn (tương ứng. lẻ) $\alpha$, cho $(A_n)$ là một dãy các tập con của $X$ thuộc $\mathfrak{G}_\alpha$ (tương ứng. $\mathfrak{F}_\alpha$) và phủ $X$. Nếu một ánh xạ $f : X \to X'$ sao cho $f|A_n$ thuộc lớp $\alpha$ với mỗi $n$, thì $f$ thuộc lớp $\alpha$. Hãy cho kết quả tương tự đối với một dãy hữu hạn các tập con của $X$ thuộc $\mathfrak{F}_\alpha$ (tương ứng. $\mathfrak{G}_\alpha$) và phủ $X$.