Exercice 16, § 6

Soient $X$ un espace métrisable, $f$ une application de l’ensemble $\mathscr{R}(E)$ des parties compactes de $X$ dans $\overline{\mathbf{R}}$, qui satisfait à la condition (CA_1) (pour deux parties compactes de $X$) et est telle que, pour toute suite décroissante $(K_n)$ de parties compactes de $X$, on ait

Pour toute partie $A$ de $X$, on désigne par $f_*(A)$ la borne supérieure des $f(K)$ pour toutes les parties compactes $K$ de $A$, et par $f^*(A)$ la borne inférieure des $f_*(U)$ pour tous les ensembles ouverts $U$ contenant $A$. On dit que $A$ est admissible pour $f$ si $f_*(A) = f^*(A)$. a) Montrer que pour toute partie compacte $K$ de $X$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble ouvert $U \supset K$ tel que pour toute partie compacte $L$ de $X$ telle que $K \subset L \subset U$, on ait (raisonner par l’absurde). En déduire que toute partie compacte et toute partie ouverte de $X$ est admissible pour $f$. b) On suppose que $f$ satisfasse à la condition suivante: (AL) Pour tout couple d’ensembles compacts $K, K'$ de $X$, Montrer que si $(K_i)$ est une famille finie d’ensembles compacts telle que $f\left( \bigcup_i K_i \right) < +\infty$, $(K'_i)$ une seconde famille finie d’ensembles compacts ayant même ensemble d’indices, telle que $K'_i \subset K_i$ et $f(K'_i) > -\infty$ pour tout $i$, on a

EXERCICES

Soient $(A_i), (B_i)$ deux familles finies de parties de $X$, ayant même ensemble d’indices, telles que $B_i \subset A_i$ pour tout $i$, et que $f^*\left( \bigcup_i A_i \right) < +\infty$ et $f^*(B_i) > -\infty$ pour tout $i$. Montrer que si $f$ vérifie (AL), on a

(Se ramener à un ensemble d’indices à deux éléments. Considérer d’abord le cas où les $A_i$ et $B_i$ sont ouverts, et utiliser le lemme suivant : si $U_1, U_2$ sont deux ensembles ouverts, $K$ un ensemble compact tel que $K \subset U_1 \cup U_2$, il existe deux ensembles compacts $K_1 \subset U_1, K_2 \subset U_2$ tels que $K \subset K_1 \cup K_2$.)

c) On suppose que $f$ vérifie la condition (AL). Montrer que pour toute suite croissante $(A_n)$ de parties de $X$ telles que

on a $f^*\left( \bigcup_n A_n \right) = \sup_n f^*(A_n)$ (utiliser $b$). En déduire que si $f$ ne prend pas la valeur $-\infty$ dans $\mathscr{R}(X)$, $f^*$ est alors une capacité continue à droite sur $X$.

d) On suppose que $f$ vérifie la condition (AL). Montrer que toute réunion d’une suite $(A_n)$ d’ensembles admissibles tels que $f^*(A_n) > -\infty$, est admissible. (Utiliser $b$ et $c$).