Bài tập 17, § 6

a) Cho $X, X'$ là hai không gian mêtric, $X'$ có kiểu đếm được, và cho $(U'_n)$ là một cơ sở đếm được cho tôpô của $X'$. Cho $\alpha$ là một thứ tự đếm được chẵn (tương ứng. lẻ). Nếu một ánh xạ $f : X \to X'$ sao cho $f^{-1}(U'_n)$ thuộc $\mathscr{G}_\alpha(X)$ [tương ứng. $\mathfrak{F}_\alpha(X)$] với mỗi $n$, thì $f$ là một ánh xạ Borel thuộc lớp $\alpha$.

b) Cho $(X'_n)$ là một dãy các không gian mêtric có kiểu đếm được. Một ánh xạ $f = (f_n) : X \to \prod_n X'_n$ thuộc lớp $\alpha$ khi và chỉ khi mỗi $f_n$ thuộc lớp $\alpha$ [dùng a)]. Suy ra rằng, nếu $X$ có kiểu đếm được, các hàm thực hữu hạn thuộc lớp $\alpha$ trên $X$ tạo thành một vành.

c) Cho $X, X'$ là hai không gian mêtric có kiểu đếm được, và cho $\alpha$ là một thứ tự đếm được chẵn (tương ứng. lẻ). Nếu một ánh xạ $f : X \to X'$ thuộc lớp $\alpha$, hãy chứng minh rằng đồ thị của nó thuộc $\mathfrak{F}_\alpha(X \times X')$ [tương ứng. $\mathscr{G}_\alpha(X \times X')$] [dùng b) và Bài tập 16 b)].