Exercice 17, § 6

Topologie générale, IX, p. 123

It is set in small type as supplementary.

Soit $K$ une partie compacte de $\mathbf{R}^2$ . Pour tout nombre réel $y$ , on désigne par $\delta_1(K, y)$ et $\delta_2(K, y)$ les diamètres des intersections respectives de $K$ et de

(0, +\infty[ \times \{y\} \text{ et } ]-\infty, 0] \times \{y\}.

Montrer que $y \mapsto \delta_1(K, y)$ et $y \mapsto \delta_2(K, y)$ sont semi-continues supérieurement. Soit $\varphi$ une application croissante et continue de $(0, +\infty)$ dans lui-même telle que $\varphi(0) = 1$ et $\varphi(+\infty) = 2$ ; on pose

\psi(K, y) = \varphi(\delta_1(K, y) \delta_2(K, y)) \quad \text{et} \quad f(K) = \int_{\mathrm{pr}_2(K)} \psi(K, y) \, dy.

Montrer que $f$ vérifie les conditions de l’exerc. 16 de IX, p. 122 et que l’on a

f(K \cup K') \leq f(K) + f(K')

pour tout couple de parties compactes de $\mathbf{R}^2$ . Mais si $A$ est l’ensemble fermé défini par $x \geq 0, 0 \leq y \leq 1$ montrer que l’on a $f_*(A) = 1$ et $f^*(A) = 2$ .

Solution

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