Bài tập 20, § 6

Cho $X, X'$ là hai không gian mêtric. Với mọi thứ tự đếm được chẵn (tương ứng lẻ) $\alpha$, ta nói rằng một ánh xạ $f$ từ $X$ vào $X'$ là Borel thuộc lớp $\alpha$ nếu, với mọi tập con đóng $F'$ của $X'$, $f^{-1}(F')$ thuộc $\mathfrak{F}_\alpha(X)$ (tương ứng $\mathfrak{G}_\alpha(X)$) (IX, p. 119, exerc. 6); khi đó, với mọi tập con mở $G'$ của $X'$, $f^{-1}(G')$ thuộc $\mathfrak{G}_\alpha(X)$ (tương ứng $\mathfrak{F}_\alpha(X)$). Các hàm Borel thuộc lớp 0 là các hàm liên tục. $\alpha)$ Để hàm đặc trưng $\varphi_A$ của một tập con $A$ của $X$ thuộc lớp $\alpha$, điều kiện cần và đủ là $A$ thuộc $\mathfrak{F}_\alpha \cap \mathfrak{G}_\alpha$. b) Cho $f$ là một ánh xạ thuộc lớp $\alpha$ từ $X$ vào $X'$; hãy chứng minh rằng với mọi tập con $B' \in \mathfrak{F}_\beta(X')$ (tương ứng $B' \in \mathfrak{G}_\beta(X')$), $f^{-1}(B')$ thuộc $\mathfrak{F}_{\alpha+\beta}(X)$ (tương ứng $\mathfrak{G}_{\alpha+\beta}(X)$). (Lập luận bằng quy nạp siêu hạn theo $\beta$.) c) Cho $f$ là một ánh xạ thuộc lớp $\alpha$ từ $X$ vào $X'$, $g$ là một ánh xạ thuộc lớp $\beta$ từ $X'$ vào một không gian mêtric $X''$; hãy chứng minh rằng $g \circ f$ là một ánh xạ thuộc lớp $\alpha + \beta$. d) Với mọi thứ tự đếm được chẵn (tương ứng lẻ) $\alpha$, cho $(A_n)$ là một dãy các tập con của $X$ thuộc $\mathfrak{G}_\alpha$ (tương ứng $\mathfrak{F}_\alpha$) và tạo thành một phủ của $X$; nếu một ánh xạ $f$ từ $X$ vào $X'$ sao cho hạn chế của nó lên mỗi $A_n$ thuộc lớp $\alpha$, thì $f$ thuộc lớp $\alpha$. Kết quả tương tự cho một hữu hạn dãy các tập con của $X$ thuộc $\mathfrak{F}_\alpha$ (tương ứng $\mathfrak{G}_\alpha$) và tạo thành một phủ của $X$.