Exercice 20, § 6

Soient $X, X'$ deux espaces métrisables. Pour tout ordinal dénombrable pair (resp impair) $\alpha$, on dit qu’une application $f$ de $X$ dans $X'$ est borélienne de classe $\alpha$ si, pour toute partie fermée $F'$ de $X'$, $f^{-1}(F')$ appartient à $\mathfrak{F}_\alpha(X)$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha(X)$) (IX, p. 119, exerc. 6); alors, pour toute partie ouverte $G'$ de $X'$, $f^{-1}(G')$ appartient à $\mathfrak{G}_\alpha(X)$ (resp. $\mathfrak{F}_\alpha(X)$). Les fonctions boréliennes de classe 0 sont les fonctions continues. $\alpha)$ Pour que la fonction caractéristique $\varphi_A$ d’une partie $A$ de $X$ soit de classe $\alpha$, il faut et il suffit que $A$ appartienne à $\mathfrak{F}_\alpha \cap \mathfrak{G}_\alpha$. b) Soit $f$ une application de classe $\alpha$ de $X$ dans $X'$; montrer que pour toute partie $B' \in \mathfrak{F}_\beta(X')$ (resp. $B' \in \mathfrak{G}_\beta(X')$), $f^{-1}(B')$ appartient à $\mathfrak{F}_{\alpha+\beta}(X)$ (resp. $\mathfrak{G}_{\alpha+\beta}(X)$). (Raisonner par récurrence transfinie sur $\beta$.) c) Soient $f$ une application de classe $\alpha$ de $X$ dans $X'$, $g$ une application de classe $\beta$ de $X'$ dans un espace métrisable $X''$; montrer que $g \circ f$ est une application de classe $\alpha + \beta$. d) Pour tout ordinal dénombrable pair (resp. impair) $\alpha$, soit $(A_n)$ une suite de parties de $X$ appartenant à $\mathfrak{G}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{F}_\alpha$) et formant un recouvrement de $X$; si une application $f$ de $X$ dans $X'$ est telle que sa restriction à chacun des $A_n$ soit de classe $\alpha$, alors $f$ est de classe $\alpha$. Résultat analogue pour une suite finie de parties de $X$ appartenant à $\mathfrak{F}_\alpha$ (resp. $\mathfrak{G}_\alpha$) et formant un recouvrement de $X$.