Bài tập 4, § 6

Cho $X$ là một không gian mêtric.

(a) Chứng minh rằng tập hợp các tập con Borel của $X$ là tập con nhỏ nhất $\mathfrak{F}$ của $\mathscr{P}(X)$ chứa tất cả các tập con đóng của $X$ và có tính chất là các hợp đếm được và các giao đếm được của các tập hợp thuộc $\mathfrak{F}$ đều thuộc $\mathfrak{F}$. (Xét tập con $\mathfrak{S}$ của $\mathfrak{F}$ gồm tất cả các $A \in \mathfrak{F}$ sao cho $X - A \in \mathfrak{F}$.)

b) Chứng minh rằng tập hợp các tập con Borel của $X$ là tập con nhỏ nhất $\mathfrak{F}$ của $\mathscr{P}(X)$ chứa tất cả các tập con mở của $X$ và có tính chất là mọi giao đếm được của các tập hợp thuộc $\mathfrak{F}$ đều thuộc $\mathfrak{F}$, và mọi hợp của một dãy các tập hợp rời nhau từng đôi thuộc $\mathfrak{F}$ đều thuộc $\mathfrak{F}$ (cùng phương pháp).

c) Mọi số thứ tự $\alpha$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $\alpha = \omega \beta + n$, trong đó $n < \omega$ (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 2, Bài tập 15); $\alpha$ được gọi là chẵn hoặc lẻ tùy theo $n$ là chẵn hay lẻ. Với mọi số thứ tự đếm được $\alpha$, ta định nghĩa bằng quy nạp siêu hạn các tập hợp các tập con $\mathfrak{F}_{\alpha}(X)$, $\mathfrak{G}_{\alpha}(X)$ (hay đơn giản là $\mathfrak{F}_{\alpha}$, $\mathfrak{G}_{\alpha}$) như sau: $\mathfrak{F}_0$ (tương ứng $\mathfrak{G}_0$) là tập hợp tất cả các tập con đóng (tương ứng mở) của $X$; nếu $\alpha$ là chẵn và $> 0$, $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (tương ứng $\mathfrak{G}_{\alpha}$) là tập hợp tất cả các tập con của $X$ là các giao đếm được (tương ứng các hợp đếm được) của các tập hợp thuộc $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{F}_{\xi}$ (tương ứng $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{G}_{\xi}$); nếu $\alpha$ là lẻ, thì $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (tương ứng $\mathfrak{G}_{\alpha}$) là tập hợp tất cả các tập con của $X$ là các hợp đếm được (tương ứng các giao đếm được) của các tập hợp thuộc $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{F}_{\xi}$ (tương ứng $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{G}_{\xi}$). Chứng minh rằng hợp của các $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (tương ứng $\mathfrak{G}_{\alpha}$) là tập hợp các tập con Borel của $X$ [dùng a)]. Suy ra rằng nếu $X$ có kiểu đếm được, tập hợp các tập con Borel của $X$ có lũy thừa nhiều nhất bằng lũy thừa của continuum.

d) Quan hệ $A \in \mathfrak{F}_{\alpha}$ tương đương với $\complement A \in \mathfrak{G}_{\alpha}$. Mọi hợp hữu hạn (tương ứng giao) của các tập hợp thuộc $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (tương ứng $\mathfrak{G}_{\alpha}$) đều

e) Cho $f$ là một ánh xạ liên tục của $X$ vào một không gian mêtric $Y$. Chứng minh rằng $\overline{f}^{-1}(\mathfrak{F}_\alpha(Y)) \subset \mathfrak{F}_\alpha(X)$ và $\overline{f}^{-1}(\mathscr{G}_\alpha(Y)) \subset \mathscr{G}_\alpha(X)$.

f) Nếu $X$ và $Y$ là hai không gian mêtric và $A \in \mathfrak{F}_\alpha(X)$, $B \in \mathfrak{F}_\alpha(Y)$, [tương ứng $A \in \mathscr{G}_\alpha(X)$, $B \in \mathscr{G}_\alpha(Y)$], thì $A \times B \in \mathfrak{F}_\alpha(X \times Y)$ [tương ứng $A \times B \in \mathscr{G}_\alpha(X \times Y)$].

g) Cho $(X_n)$ là một dãy các không gian mêtric. Chứng minh rằng nếu $A_n$ là một tập Borel trong $X_n$ với mỗi $n$, thì $\prod_n A_n$ là một tập Borel trong $\prod_n X_n$.

h) Cho $\alpha > 0$ là một số thứ tự đếm được chẵn (tương ứng lẻ) và cho $(A_n)$ là một phủ đếm được của $X$ được tạo thành bởi các tập hợp thuộc về $\mathscr{G}_\alpha$ (tương ứng $\mathfrak{F}_\alpha$). Chứng minh rằng có một phân hoạch $(B_n)$ của $X$ sao cho $B_n \subset A_n$ và $B_n \in \mathfrak{F}_\alpha \cap \mathscr{G}_\alpha$ với mỗi $n$ [sử dụng d)].