Exercice 4, § 6

a) Soit $X$ un espace métrisable. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: $\alpha$ il existe une distance compatible avec la topologie de $X$ et pour laquelle $X$ est un espace ultramétrique (IX, p. 91, exerc. 4); $\beta$ $X$ est fortement éparpillé (exerc. 3). $\gamma$ il existe une suite $(\mathscr{B}_n)$ de familles localement finies de parties à la fois ouvertes et fermées de $X$ telle que $\mathscr{B} = \bigcup_n \mathscr{B}_n$ soit une base pour la topologie de $X$.

Pour voir que $\alpha$ entraîne $\beta$), remarquer que si $F$ est un ensemble fermé dans un espace ultramétrique $X$, l’ensemble des $x \in X$ tels que $d(x, F) = \rho > 0$ est à la fois ouvert et fermé. Pour montrer que $\beta$ entraîne $\gamma$), utiliser l’exerc. 3 c) de IX, p. 118. Enfin, pour établir que $\gamma$ entraîne $\alpha$), se ramener au cas où $\mathscr{B}_n = (U_{n,\lambda})_{\lambda \in L}$, et si $f_{n,\lambda}$ est la fonction caractéristique de $U_{n,\lambda}$, considérer l’application $x \mapsto f(x) = (f_{n,\lambda}(x))$ de $X$ dans le groupe produit $\mathbf{G}^{N \times L}$, où $\mathbf{G} = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ (identifié à l’ensemble $\{0, 1\}$) ; pour tout $n \in \mathbf{N}$, soit $G_n$ le sous-groupe de $G$ formé des éléments dont les projections d’indice $(k, \lambda)$ sont nulles pour tout $\lambda \in L$ et tout $k < n$; montrer que si on munit $G$ de la topologie de groupe pour laquelle $(G_n)$ est un système fondamental de voisinages de $0$, $f$ est un homéomorphisme de $X$ sur un sous-espace de $G$; conclure en remarquant que la topologie de $G$ peut être définie par une distance invariante pour laquelle $G$ est un espace ultramétrique.

b) Déduire de a) que tout espace séparé éparpillé X qui admet une base dénombrable est un espace métrisable fortement éparpillé (montrer qu’il existe une base dénombrable formée d’ensembles à la fois ouverts et fermés, en utilisant la prop. 13 de IX, p. 19). En outre, X est alors homéomorphe à un sous-espace de l’ensemble triadique de Cantor K (cf. IX, p. 92, exerc. 11).¹