Bài tập 5, § 6

a) Cho $J$ là không gian Polish $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ ($\mathbf{N}$ mang tôpô rời rạc) và cho $X$ là một không gian mêtric kiểu đếm được. Chứng minh rằng với mỗi số thứ tự đếm được $\alpha$ có một tập con $G_\alpha$ của $J \times X$ sao cho (i) $G_\alpha \in \mathscr{G}_\alpha(J \times X)$ (Bài tập 4) và (ii) với mỗi tập con $U \in \mathscr{G}_\alpha(X)$ tồn tại $z \in J$ sao cho $G_\alpha(z) = U$. [Ta có thể tiến hành như sau bằng quy nạp siêu hạn: vì các không gian $J$ và $J^\mathbf{N}$ đồng phôi, lấy $f$ là một đồng phôi từ $J$ lên $J^\mathbf{N}$, và với mỗi số nguyên $n$ lấy $f_n = \mathrm{pr}_n \circ f$. Nếu $(A_n)$ là một cơ sở đếm được của $X$ chứa tập rỗng, lấy $G_0$ sao cho $G_0(z) = \bigcup_n A_{f_n(z)}$ với mỗi $z \in J$. Với mỗi số thứ tự đếm được $\alpha$, lấy $G_{\alpha+1}$ sao cho $G_{\alpha+1}(z) = \bigcap_n G_\alpha(f_n(z))$ nếu $\alpha$ là chẵn, và $G_{\alpha+1}(z) = \bigcup_n G_\alpha(f_n(z))$ nếu $\alpha$ là lẻ. Cuối cùng, nếu $\alpha$ không có số kế trước và nếu $(\lambda_n)$ là một dãy tăng các số thứ tự sao cho $\alpha = \sup \lambda_n$, lấy $G_\alpha$ sao cho $G_\alpha(z) = \bigcup_n G_{\lambda_n}(f_n(z))$. Sử dụng sự kiện rằng $f_n$ liên tục trên $J$.]

b) Đặc biệt lấy $X = J$. Chứng minh rằng tập $\mathrm{pr}_1(G_\alpha \cap \Delta)$, trong đó $\Delta$ là đường chéo của $J \times J$, thuộc về $\mathscr{G}_\alpha(J)$ nhưng không thuộc về $\mathfrak{F}_\alpha(J)$ [lập luận bằng phản chứng, sử dụng a)].