Exercice 5, § 6

a) Montrer que tout sous-espace totalement discontinu de $\mathbf{R}$ est éparpillé. b) Soit K l’ensemble triadique de Cantor; tout $x \in K$ s’écrit d’une seule manière $x = \sum_k 2/3^{n_k}$, où $(n_k)_{k \geq 1}$ est une suite (finie ou infinie) strictement croissante d’entiers $> 0$ (IV, p. 63, exerc. 9); on définit le nombre $f(x)$ comme égal à $\sum_k (-1)^{n_k}/2^k$. Soit G le graphe de la fonction $f$ dans $K \times \mathbf{R}$; montrer que l’espace métrisable G est totalement discontinu, mais n’est pas éparpillé. (Utiliser l’exerc. 20, de IX, p. 114, appliqué à une fonction numérique semi-continue inférieurement dans K, telle que l’ensemble des $(x, y) \in K \times \mathbf{R}$ tels que $y < g(x)$ ait une intersection avec G qui soit un ensemble à la fois ouvert et fermé.)