Bài tập 1, § 1

Cho $f(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n$ là một đa thức bậc $n$ với các hệ số phức và đặt $f(z) = \prod_{i=1}^n (z - z_i)$. Đặt $r_0 = \sup_i |z_i|$.

a) Chứng minh rằng nếu số thực $r > 0$ thỏa mãn

thì $r_0 \leq r$, và suy ra rằng

b) Cho $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy hữu hạn gồm $n$ số thực $> 0$ sao cho $\sum_{i=1}^n \lambda_i^{-1} = 1$. Chứng minh rằng $r_0 \leq \sup_k (\lambda_k |a_k|)^{1/k}$ [dùng a)].

c) Suy ra từ a) rằng, nếu các hệ số $a_i$ đều khác không, ta có

d) Suy ra từ a) rằng

[xét đa thức $(z - 1)f(z)$]. Do đó chứng minh rằng, nếu các $a_i$ đều là thực và $> 0$, ta có