Exercice 1, § 1

Topologie générale, VIII

Soit $f(z) = z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n$ un polynôme de degré $n$ à coefficients complexes et posons $f(z) = \prod_{i=1}^n (z - z_i)$ ; soit $r_0 = \sup |z_i|$ .

a) Montrer que si le nombre réel $r > 0$ est tel que

r^n \geq |a_1|r^{n-1} + |a_2|r^{n-2} + \cdots + |a_{n-1}|r + |a_n|

on a

r_0 \leq r

; en déduire

r_0 \leq \sup \left( 1, \sum_{k=1}^n |a_k| \right).

b) Soit $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie de $n$ nombres $> 0$ tels que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} = 1$ ; montrer que l’on a

r_0 \leq \sup_k (\lambda_k |a_k|)^{1/k}

(utiliser

a

c) Déduire de $a$ que si les coefficients $a_i$ sont tous $\neq 0$ , on a

r_0 \leq \sup \left( 2|a_1|, 2 \left| \frac{a_2}{a_1} \right|, \ldots, 2 \left| \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \right|, \left| \frac{a_{n-1}}{a_n} \right| \right).

d) Déduire de $a$ que l’on a

r_0 \leq |a_1 - 1| + |a_2 - a_1| + \cdots + |a_{n-1} - a_n| + |a_n|

(considérer le polynôme

(z - 1)f(z)

). En conclure que si les

a_i

sont tous réels et

> 0

, on a

r_0 \leq \sup \left( a_1, \frac{a_2}{a_1}, \ldots, \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}, \frac{a_n}{a_{n-1}} \right).

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