Bài tập 3, § 1

(a) Cho $K$ là một trường có thứ tự cực đại, được trang bị tôpô $\mathscr{T}_0(K)$, tương thích với cấu trúc trường của nó (Chương IV, § 3, Bài tập 2). Cho

là một đa thức trong $K[X]$ có một nghiệm đơn $\alpha$ trong $K$. Chứng minh rằng, với mọi phần tử $\varepsilon > 0$ trong $K$, tồn tại $\eta > 0$ trong $K$ sao cho mọi đa thức $g(X) = b_0 X^n + b_1 X^{n-1} + \cdots + b_n$, mà $|a_i - b_i| \leq \eta$ với mọi $i$, có đúng một nghiệm đơn $\beta$ sao cho $|\beta - \alpha| \leq \varepsilon$. (Khai triển $f$ và $g$ theo các lũy thừa của $X - \alpha$.) Cho một cận trên của $\eta$ theo các $a_i, \alpha$ và $\varepsilon$.

(b) Suy ra rằng, nếu $K$ là một trường có thứ tự cực đại, thì bao đầy đủ $\hat{K}$ của nó đối với $\mathscr{T}_0(K)$ (là một trường có cấu trúc thứ tự tự nhiên: Chương IV, § 4, Bài tập 2) là một trường có thứ tự cực đại.

(c) Cho $K_0$ là một trường có thứ tự và cho $S = K_0((X))$ là trường các chuỗi lũy thừa hình thức theo một bất định trên $K_0$; sắp thứ tự tuyến tính $S$ bằng cách lấy các phần tử $\geq 0$ trong $S$ là $0$ và các chuỗi lũy thừa hình thức mà số hạng có bậc thấp nhất có hệ số $> 0$. Chứng minh rằng $S$, được trang bị tôpô $\mathscr{T}_0(S)$, là đầy đủ, nhưng $S$ không phải là một trường có thứ tự cực đại (chứng minh rằng các đa thức $Y^p - X$ của $S[Y]$ là bất khả quy với mỗi số nguyên $p > 1$).

(d) Trong ví dụ của c), lấy $K_0 = \mathbf{R}$. Cho $K$ là một mở rộng đại số có thứ tự cực đại của $S$; chứng minh rằng $K$ không đầy đủ trong tôpô $\mathscr{T}_0(K)$. (Nhúng $S$ vào trường $E$ các chuỗi lũy thừa hình thức với số mũ được sắp tốt, được sắp thứ tự theo cùng cách như $S$, và nhúng $K$ vào một mở rộng có thứ tự cực đại $\Omega$ của $E$. Nhận xét rằng $E$ là đầy đủ, và cho một ví dụ về một dãy Cauchy trong $K$ hội tụ đến một phần tử $f \in E$ không đại số trên $S$; chọn $f$ sao cho có một số vô hạn các đẳng cấu $S$ của $E$ vào một bao đóng đại số của $\Omega$, sao cho các ảnh của $f$ qua các đẳng cấu này đều phân biệt.)