Exercice 3, § 1

a) Soit $K$ un corps ordonné maximal (A, VI, § 2, n° 5), muni de la topologie $\mathscr{T}_0(K)$, qui est compatible avec sa structure de corps (IV, p. 51, exerc. 2). Soit

un polynôme de $K[X]$ admettant une racine simple $\alpha$ dans $K$. Montrer que pour tout élément $\varepsilon > 0$ dans $K$, il existe un $\eta > 0$ dans $K$ tel que, pour tout polynôme pour lequel $|a_i - b_i| \leq \eta$ pour tout $i$, il existe une racine simple $\beta$ de $g$ et une seule dans $K$ telle que $|\beta - \alpha| \leq \varepsilon$. (Développer $f$ et $g$ en puissances de $X - \alpha$ et utiliser A, VI, § 2, exerc. 13). Donner une majoration de $\eta$ en fonction des $a_i$, de $\alpha$ et de $\varepsilon$.

b) Déduire de a) que si $K$ est un corps ordonné maximal, son complété $\hat{K}$ pour $\mathscr{T}_0(K)$, qui est un corps naturellement muni d’une structure d’ordre (IV, p. 51, exerc. 2), est un corps ordonné maximal.

c) Soient $K_0$ un corps ordonné, $S = K_0((X))$ le corps des séries formelles à une indéterminée sur $K_0$; on ordonne (totalement) $S$ en prenant pour éléments $\geq 0$ de $S$ l’élément 0 et les séries formelles dont le coefficient du terme de plus petit degré est $> 0$. Montrer que $S$, muni de la topologie $\mathscr{T}_0(S)$, est complet, mais que $S$ n’est pas ordonné maximal (prouver que les polynômes $Y^p - X$ de $S[Y]$ sont irréductibles pour tout entier $p > 1$ (A, V, § 11, exerc. 12)).

d) Dans l’exemple de c), on prend $K_0 = \mathbf{R}$. Soit $K$ une extension algébrique ordonnée maximale de $S$; montrer que, pour la topologie $\mathscr{T}_0(K)$, $K$ n’est pas complet. (Plonger $S$ dans le corps $E$ des séries formelles à exposants bien ordonnés (A, IV, § 5, exerc. 11 b)), ordonné de la même façon que $S$, et $K$ dans une extension ordonnée maximale $\Omega$ de $E$. Observer que $E$ est complet, et donner un exemple d’une suite de Cauchy formée d’éléments de $K$ et qui converge vers un élément $f \in E$ non algébrique sur $S$; on choisira $f$ de sorte qu’il y ait une infinité de $S$-isomorphismes de $E$ dans une clôture algébrique de $\Omega$, tels que les images de $f$ par ces isomorphismes soient distincts).