Bài tập 4, § 1

Chứng minh rằng mọi đồng cấu liên tục (nhất thiết đơn ánh) $f$ của trường tôpô $\mathbf{C}$ lên một trường con của $\mathbf{C}$ hoặc là tự đẳng cấu đồng nhất hoặc là tự đẳng cấu $z \to \overline{z}$. [Chú ý rằng ta phải có $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbf{Q}$, và suy ra rằng $f(x) = x$ với mọi $x \in \mathbf{R}$.] Chứng minh rằng tồn tại một số vô hạn các đẳng cấu không liên tục của $\mathbf{C}$ lên các trường con của $\mathbf{C}$ khác với chính $\mathbf{C}$.