Exercice 4, § 1

Montrer que tout homomorphisme continu $f$ (nécessairement injectif) du corps topologique $\mathbf{C}$ sur un sous-corps de $\mathbf{C}$, est l’automorphisme identique de $\mathbf{C}$, ou l’automorphisme $z \mapsto \bar{z}$ de $\mathbf{C}$. (Remarquer que l’on a nécessairement $f(x) = x$ pour $x \in \mathbf{Q}$, et en déduire que $f(x) = x$ pour tout $x \in \mathbf{R}$.) Montrer qu’il existe une infinité d’isomorphismes non continus de $\mathbf{C}$ sur des sous-corps de $\mathbf{C}$ distincts de $\mathbf{C}$ (cf. A, V, § 6, exerc. 1, et AC, VI, § 9, exerc. 2).