Bài tập 4, § 2

Cho $K$ là trường con Pythagore nhỏ nhất của $\mathbf{R}$ và cho $K' = K(i)$. Cho $G$ là nhóm nhân của các phần tử của $K'$ có giá trị tuyệt đối bằng 1 (một nhóm con của $\mathbf{U}$). Chứng minh rằng $G$ không đẳng cấu với nhóm cộng của các số của $K$ mod 1. (Nhận xét rằng trong nhóm sau tồn tại các phần tử có mọi cấp nguyên tố $p$; mặt khác, nếu $p$ là một số nguyên tố sao cho $p - 1$ không phải là một lũy thừa của 2, hãy chứng minh rằng $G$ không chứa nghiệm đơn vị bậc $p$ nào khác 1, bằng cách lưu ý rằng bậc trên $\mathbf{Q}$ của mọi phần tử của $K'$ là một lũy thừa của 2.)