Exercice 4, § 2

Soit K le plus petit sous-corps pythagoricien (A, VI, § 2, exerc. 8) de $\mathbf{R}$, et soit K’ le corps obtenu par adjonction de $i$ à K. Soit G le groupe multiplicatif des éléments de K’ de valeur absolue 1 (sous-groupe de $\mathbf{U}$). Montrer que G n’est pas isomorphe au groupe additif des nombres de K modulo 1. (Observer que dans ce dernier groupe, il existe des éléments d’ordre premier $p$ quelconque; montrer d’autre part, en prenant $p$ tel que $p - 1$ ne soit pas une puissance de 2, que G ne peut contenir de racine $p$-ème de l’unité $\neq 1$, en notant que le degré sur $\mathbf{Q}$ de tout élément de K’ est une puissance de 2).