Bài tập 6, § 4

Cho $K$ là một vành chia tôpô Hausdorff không rời rạc (hoặc một trường).

a) Trang bị cho không gian xạ ảnh trái $P_n(K)$ thương của tôpô của $K_{n+1}^*$ bởi quan hệ tương đương $\Delta_n(K)$. Mở rộng các Mệnh đề 1, 4 và 5 của Chương VI, § 3, cho $P_n(K)$ được trang bị tôpô này. Chứng minh rằng $P_n(K)$ liên thông nếu $K$ liên thông, và ngược lại thì hoàn toàn rời rạc.

\* b) Nếu $K$ compact địa phương (nhưng không rời rạc), chứng minh rằng $P_n(K)$ là compact. (Cho $U$ là một lân cận compact của $0$ trong $K$; cho $a \in K$ sao cho

cho $S$ là tập con của $K_{n+1}^*$ gồm các điểm $x = (x_i)$, mà mọi tọa độ của chúng $x_i$ đều thuộc $U$, và sao cho $x_k \in a \cdot \overline{U}$ với một chỉ số $k$ nào đó; chứng minh rằng $P_n(K)$ là ảnh chính tắc của $S$.)

c) Tương tự, mở rộng Định nghĩa 2 và các Mệnh đề 6 và 8 của Chương VI, § 3 cho tập $P_{n,p}(K)$ các đa tạp tuyến tính xạ ảnh có $p$ chiều trong $P_n(K)$; \* cũng mở rộng Mệnh đề 7, giả sử rằng $K$ compact địa phương [đối với Mệnh đề 7, xét, với mỗi dãy $\sigma$ các chỉ số, tập con $S_\sigma$ của $A_\sigma$ gồm các ma trận mà mọi hàng của chúng đều thuộc tập $S$ được định nghĩa trong b); chứng minh rằng $P_{n,p}(K)$ là ảnh chính tắc của hợp của các tập $S_\sigma$]. \* Khái quát hóa Mệnh đề 9 của Chương VI, § 3, khi $K$ là một trường.

d) Nếu $K$ không giao hoán, ký hiệu $P_{n,p}'(K)$ là không gian các đa tạp tuyến tính xạ ảnh có $p$ chiều trong không gian xạ ảnh phải có $n$ chiều trên $K$ [tôpô của $P'_{n,p}(K)$ được định nghĩa theo cùng cách như tôpô của $P_{n,p}(K)$]. Chứng minh rằng $P_{n,p}(K)$ và $P'_{n,n-p-1}(K)$ là đồng phôi [cho mỗi không gian con vectơ $(p+1)$ chiều $V$ của không gian vectơ trái $E = K_s^{n+1}$ tương ứng với phần bù trực giao của $V$, là một không gian con vectơ của đối ngẫu $E^*$ của $E$].