Exercice 6, § 4

Soit K un corps topologique séparé non discret (commutatif ou non). a) On prend sur l’espace projectif à gauche $P_n(K)$ la topologie quotient de celle de $K_{n+1}^*$ par la relation d’équivalence $\Delta_n(K)$. Étendre à $P_n(K)$, muni de cette topologie, les prop. 1 de VI, p. 13; si K est connexe, $P_n(K)$ est connexe; sinon, $P_n(K)$ est totalement discontinu. b) Si K est un corps localement compact (non discret), montrer que $P_n(K)$ est compact (soit U un voisinage compact de 0 dans K, a un élément de K tel que $\lim_{m \to \infty} a^m = 0$ (cf. AC, VI, § 9); soit S la partie de $K_{n+1}^*$ formée des points $x = (x_i)$ dont toutes les coordonnées $x_i$ appartiennent à U, et tels qu’il existe un indice k pour lequel $x_k \in a. \overline{U}$; montrer que $P_n(K)$ est l’image canonique de S). c) Étendre de même à l’ensemble $P_{n,p}(K)$ des variétés linéaires projectives à p dimensions de $P_n(K)$ la déf. 2 et la prop. 6 de VI, p. 18, ainsi que la prop. 7 lorsque K est localement compact (pour la prop. 7, considérer, pour chaque suite d’indices $\sigma$, la partie $S_\sigma$ de $A_\sigma$ formée des matrices dont chaque ligne appartient à l’ensemble S défini dans b); montrer que $P_{n,p}(K)$ est l’image canonique de la réunion des ensembles $S_\sigma$. Généraliser également la prop. 8 de VI, p. 20, lorsque K est commutatif. d) Lorsque K n’est pas commutatif, on désigne par $P_{n,p}'(K)$ l’espace des variétés linéaires projectives à p dimensions de l’espace projectif à droite à n dimensions sur le corps K (la topologie de $\mathbf{P}'_{n,p}(K)$ étant définie de la même manière que celle de $\mathbf{P}_{n,p}(K)$). Montrer que $\mathbf{P}_{n,p}(K)$ et $\mathbf{P}'_{n,n-p-1}(K)$ sont homéomorphes (à tout sous-espace vectoriel $V$ à $p + 1$ dimensions de l’espace vectoriel à gauche $E = K_s^{n+1}$, faire correspondre le sous-espace vectoriel du dual $E^*$ de $E$, orthogonal à $V$ (cf. A, II, p. 42).