Bài tập 22, § 4

Cho $X$ là một không gian compact, $A$ là đại số định chuẩn $C(X; \mathbf{C})$ trên $\mathbf{C}$. Đối với mọi iđêan đóng $a$ của $A$, hãy chứng minh rằng quan hệ $f \in a$ kéo theo $\bar{f} \in a$ (nhận xét rằng $\bar{f}$ là giới hạn đều của các hàm có dạng $gf$). Khi đó hãy mở rộng cho đại số $A$ các kết quả của Bài tập 13 của $X$, p. 57.

¶ 23 a) Cho $X$ là một không gian compact, $A$ là một đại số hạng hữu hạn trên trường $\mathbf{R}$, có phần tử đơn vị, và được trang bị tôpô xác định trong VI, p. 5. Cho $B$ là một đại số con của đại số $\mathbf{R}$-đại số $C(X; A)$; giả sử rằng với mọi $\varepsilon > 0$, mọi cặp điểm phân biệt $x, y$ của $X$ và mọi cặp phần tử $u, v$ của $A$, tồn tại $f \in B$ sao cho $\| f(x) - u \| \leq \varepsilon$ và $\| f(y) - v \| \leq \varepsilon (\| z \|$ là một chuẩn bất kỳ xác định tôpô của $A$); hơn nữa giả sử rằng nếu $u$ và $v$ thuộc $\mathbf{R}$, thì có một hàm $f \in B$ thỏa mãn các điều kiện trước đó và nhận các giá trị của nó trong $\mathbf{R}$. Với các điều kiện này, hãy chứng minh rằng $B$ trù mật trong $C(X; A)$ đối với tôpô của sự hội tụ đều. (Trước hết hãy chứng minh rằng mọi hàm của $C(X; \mathbf{R})$ có thể được xấp xỉ đều bởi các hàm của $B$, sau đó chứng minh rằng điều tương tự đúng đối với mọi hằng $a \in A$, sử dụng giả thiết và một phân hoạch của đơn vị).

b) Lấy $A = \mathbf{H}$, trường các quaternion trên $\mathbf{R}$. Cho $B$ là một đại số con của đại số $\mathbf{R}$-đại số $C(X; \mathbf{H})$ sao cho: 1° đối với mọi hàm $f \in B$, liên hợp $\bar{f}$ của $f$ (được định nghĩa bởi $\bar{f}(x) = f(\bar{x})$ đối với mọi $x \in X$) thuộc $B$; 2° đối với mọi $\varepsilon > 0$, mọi cặp điểm phân biệt $x, y$ của $X$ và mọi cặp phần tử $u, v$ của $\mathbf{H}$, tồn tại $f \in B$ sao cho $\| f(x) - u \| \leq \varepsilon$ và $\| f(y) - v \| \leq \varepsilon$. Hãy chứng minh rằng $B$ trù mật khắp nơi trong $C(X; \mathbf{H})$ (sử dụng $a$).

c) Mở rộng các kết quả của $X$, p. 57, Bài tập 13 cho đại số $C(X; \mathbf{H})$, và bây giờ chứng minh riêng rằng mọi iđêan đóng của đại số này là hai phía (lập luận như trong Bài tập 22 bằng cách dùng $b$).

¶ 24) a) Cho $X$ là một không gian compact hoàn toàn không liên thông, $A$ là một vành tôpô. Ta trang bị cho vành $C(X; A)$ tôpô hội tụ đều, tương thích với cấu trúc vành. Cho $a$ là một iđêan trái của $C(X; A)$, và với mỗi $x \in X$, gọi $F(x)$ là bao đóng trong $A$ của các tập hợp gồm các $f(x)$ với $f \in a$, đây là một iđêan trái đóng của $A$. Bây giờ chứng minh rằng $\bar{a}$ trùng với tập hợp các $f \in C(X; A)$ sao cho $f(x) \in F(x)$ với mọi $x \in X$ (nhận xét rằng với mọi $x \in X$ các lân cận của $x$ vừa mở vừa đóng tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $x$).

b) Giả sử thêm rằng tồn tại trong $A$ một hệ cơ bản các lân cận của 0 là các iđêan hai phía của $A$. Cho $B$ là một vành con của $C(X; A)$ chứa các hàm hằng và tách các điểm của $X$; bây giờ chứng minh rằng $B$ là trù mật trong $C(X; A)$. (Với mọi tập con đóng $F$ của $X$, mọi điểm $x \notin F$ và mọi lân cận $U$ của 0 trong $A$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại $f \in B$ sao cho $f(x) = 1$ và $f(y) \in U$ với mọi $y \in F$).

25) Cho $X$ là một không gian địa phương compact; ta gọi tôpô ngặt trên không gian vectơ $C^b(X; \mathbf{R})$ của các hàm số liên tục và bị chặn là tôpô được xác định bởi họ các khoảng cách $d_\varphi(f, g) = \sup_{x \in X} \varphi(x)|f(x) - g(x)|$, trong đó $\varphi$ là một hàm số liên tục, $\geq 0$ và tiến về 0 tại điểm ở vô tận.

a) Bây giờ chứng minh rằng đối với cấu trúc đều được xác định bởi các khoảng cách này, $C^b(X; \mathbf{R})$ là đầy đủ và rằng tôpô ngặt tương thích với cấu trúc đại số trên $\mathbf{R}$.

b) Bây giờ chứng minh rằng nếu $A$ là một đại số con đóng của $C^b(X; \mathbf{R})$ đối với tôpô ngặt, tách các điểm của $X$, và sao cho với mọi $x \in X$, tồn tại $f \in A$ sao cho $f(x) \neq 0$, thì $A = C^b(X; \mathbf{R})$.