Bài tập 16, § 4

Cho A là một đại số Banach có đơn vị, $x\in A$, và $k$ là một số nguyên $\geqslant 0$. Gọi $\mathbf{U}$ là tập hợp các số phức có môđun bằng 1.

a) Giả sử rằng Sp$_A(x)\subset \mathbf{U}$ và $\|R(x, \lambda )\|= O((1- |\lambda |)^k)$ khi $|\lambda |$ tiến tới 1. Chứng minh rằng $\|x^n\|= O(|n|^k)$ khi $n$ tiến tới $\pm \infty$. (Với mọi $\delta >1$, chứng minh rằng

$(\delta -1)(1-\delta$ )

trong đó M độc lập với $n$ và $\delta$. Lấy $\delta =n/(n-k)$ khi $n$ tiến tới $+\infty ,\delta =n/(n+k)$ khi $n$ tiến tới $-\infty .)$

b) Giả sử rằng $\|x^n\|= O(|n|^k)$ khi $n$ tiến tới $\pm \infty$. Chứng minh rằng Sp$_A(x)\subset \mathbf{U}$ và $\|R(\lambda , x)\|= O((1- |\lambda |)^{k+1})$ khi $|\lambda |$ tiến tới 1. (Ta có $\varrho (x) =\varrho (x^{-1}) = 1$, do đó Sp$_A(x)\subset \mathbf{U}$. Với $|\lambda |<1$,

Suy ra một cận trên cho $\|R(\lambda , x)\|$, và lập luận theo cách tương tự nếu $|\lambda |>1$.)