Exercice 16, § 4

Soient A une algèbre de Banach unifère, $x\in A$, et $k$ un entier $\geqslant 0$. Soit $\mathbf{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module 1.

a) On suppose que Sp$_A(x)\subset \mathbf{U}$ et que $\|R(x, \lambda )\|= O((1- |\lambda |)^k)$ quand $|\lambda |$ tend vers 1. Montrer que $\|x^n\|= O(|n|^k)$ quand $n$ tend vers $\pm \infty$. (Pour tout $\delta >1$, montrer que

$(\delta -1)(1-\delta$ )

où M est indépendant de $n$ et $\delta$. Prendre $\delta =n/(n-k)$ quand $n$ tend vers $+\infty ,\delta =n/(n+k)$ quand $n$ tend vers $-\infty .)$

b) On suppose que $\|x^n\|= O(|n|^k)$ quand $n$ tend vers $\pm \infty$. Montrer que Sp$_A(x)\subset \mathbf{U}$ et que $\|R(\lambda , x)\|= O((1- |\lambda |)^{k+1})$ quand $|\lambda |$ tend vers 1. (On a $\varrho (x) =\varrho (x^{-1}) = 1$, donc Sp$_A(x)\subset \mathbf{U}$. Pour $|\lambda |<1$,

En déduire une majoration de $\|R(\lambda , x)\|$, et raisonner de manière analogue si $|\lambda |>1$.)