Bài tập 22, § 4

Ta tiếp tục sử dụng các ký hiệu của bài tập trước.

a) Tồn tại các hàm $f_1$ và $f_2$ trong $\mathscr{C}^2([a, b])$ sao cho $-f''_i+qf_i= 0$ và

Các hàm này là các nghiệm duy nhất của các phương trình này và hàm $w=$ $f_1f'_2-f'_1f_2$ là hằng.

b) Cho $g\in \mathscr{C}([0,1])$. Tồn tại một hàm duy nhất $\varphi \in \mathscr{C}^2([0,1])$ sao cho

và ta có $\varphi =c_1f_1+c_2f_2$, trong đó

với mọi $x\in [0,1]$. c) Toán tử từng phần SL$_q$ là toàn ánh; nghịch đảo của nó là ánh xạ $g\mapsto \varphi$ và tồn tại một hàm $G\in \mathscr{C}([0,1]^2)$ sao cho

SL$^{-1}_q(g)(x) =\int_0^1G(x, y)g(y)d\mu(y)$

với mọi $g\in \mathscr{C}([0,1])$ và hầu khắp mọi $x\in [0,1]$. Ta có $G(x, y) = G(y, x)$ với mọi $(x, y)\in [0,1]^2$.

d) Toán tử SL$^{-1}_q$ là compact và đơn ánh trên $L^2([0,1], \mu)$.

e) Các hàm $(\varphi_n)$ tạo thành một cơ sở trực chuẩn của $L^2([0,1])$, và phổ của SL$_q$ trùng với tập hợp các trị riêng của nó.