Exercice 22, § 4

On reprend les notations de l’exercice précédent.

a) Il existe des fonctions $f_1$ et $f_2$ dans $\mathscr{C}^2([a, b])$ telles que $-f''_i+qf_i= 0$ et

Ces fonctions sont les uniques solutions de ces équations et la fonction $w=$ $f_1f'_2-f'_1f_2$ est constante.

b) Soit $g\in \mathscr{C}([0,1])$. Il existe une unique fonction $\varphi \in \mathscr{C}^2([0,1])$ telle que

et on a $\varphi =c_1f_1+c_2f_2$, où

pour tout $x\in [0,1]$. c) L’opérateur partiel SL$_q$ est surjectif ; son inverse est l’application $g\mapsto \varphi$ et il existe une fonction $G\in \mathscr{C}([0,1]^2)$ telle que

SL$^{-1}_q(g)(x) =\int_0^1G(x, y)g(y)d\mu(y)$

pour tout $g\in \mathscr{C}([0,1])$ et presque tout $x\in [0,1]$. On a $G(x, y) = G(y, x)$ pour tout $(x, y)\in [0,1]^2$.

d) L’opérateur SL$^{-1}_q$ est compact et injectif sur $L^2([0,1], \mu)$.

e) Les fonctions $(\varphi_n)$ forment une base orthonormale de $L^2([0,1])$, et le spectre de SL$_q$ coïncide avec l’ensemble de ses valeurs propres.