习题 13, § 2

设 A 为环。 (a) 考虑环 $(A/p)[X]$ 中多项式 $f$ 的像，给出习题 6 的另一个证明 (b) 代数、章 VIII, § 6，其中$p$贯穿A的素理想集合。 (b) 令A上的$N$为阶$r$中的平方矩阵；要使 $N$ 幂零，其特征多项式的每个系数（除了主系数）都是幂零的，这是充分必要的。 （要查看条件是必要的，请使用与 (a) 中相同的方法；要查看它是否充分，请使用 Cayley-Hamilton 定理。） (c) 证明，对于正整数 $k, r$ 的每一个有序对，至少存在独立于环 A 的正整数 $m(k, r)$，使得关系 $N^k = 0$ 隐含$(\mathrm{Tr}(N))^{m(k, r)} = 0$。 （考虑环$A = \mathbf{Z}[T_{ij}]$，其中$T_{ij}$是$r^2$不确定，A上的矩阵$X = (T_{ij})$和A的元素$t = \sum_{i=1}^r T_{ii} = \mathrm{Tr}(X)$；如果$a$是由元素生成的A的理想$X^k$，借助(b)证明存在整数$m$使得$t^m \in a_{k,r}$) (d) 证明$m(2, 2) = 4$。