习题 2, § 2

令$A$为环，且$S$为$A$的乘法子集。证明$x \in A$的集合$n$使得$sx = 0$对于某些$s \in S$来说是$A$的理想。 集合$A_n = A/n$并用$A_n$中$S$的$S_1$典范像表示。证明$S_1$中没有元素是$A$中0的除子，并且典范同态$S^{-1}A \to S_1^{-1}A_1$是双射的。

推出，要使$S^{-1}A$成为有限生成的$A$模，$S_1$的所有元素在$A$中可逆是必要且充分的，在这种情况下，$S^{-1}A$被标识为$A$。