习题 20, § 2

令 $\mathscr{F}$ 为环 $A$ 的左理想的拓扑和幂等集合。 (a) 假设$\mathscr{F}$包含a的每个理想都*有限地*生成理想属于到$\mathscr{F}$。令$M$为$A$模，$(N_i)_{i \in I}$为$M$的子模的右有向族，其并为$M$。证明$M_{\mathscr{F}}$是其子$A_{\mathscr{F}}$模块$(N_i)_{\mathscr{F}}$的并。特别是，对于$A$模块的每个$(M_\lambda)_{\lambda \in L}$族，$\left( \bigoplus_{\lambda \in L} M_\lambda \right)_{\mathscr{F}}$在规范上与$\bigoplus_{\lambda \in L} (M_\lambda)_{\mathscr{F}}$同构的。 (b) 假设条件 (a) 成立，并且对于每个满射 $A$-模同态 $u : M \to N$，$u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ 是满射。那么，外法则在$M_{\mathscr{F}}$上定义为$A_{\mathscr{F}}$模块的典范映射$A_{\mathscr{F}} \otimes_A M \to M_{\mathscr{F}}$是$A_{\mathscr{F}}$模块同构（约化对于$M$空闲的情况）； 环 $A_{\mathscr{F}}$ 是平左 $A$ 模，左 $A_{\mathscr{F}}$ 模重合与左 $A$ 模 $M$ 使得映射 $j_M : M \to M_{\mathscr{F}}$ 是双射的。 (c) 假设 $A$ 是环的无限乘积 $\prod_{t \in I} A_t$；令e表示$A$的单位元，并取$\mathscr{F}$为$A$包含的左理想集合，双边理想$a = \bigoplus_{t \in I} A_t$（$A_t$，被规范地等同于$A$的理想）。证明，对于每个左 $A$-模块 $M$，$M_{\mathscr{F}}$ 都由乘积 $\prod_{t \in I} (e_t M)$ 标识，特别是 $A_{\mathscr{F}} = A$。推出，对于每个满射$A$-同态$u : M \to N$，$u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$是满射，但给出$A$-模$M$的例使得$j_M$不是双射的。 (d) 假设条件 (a) 成立且 $A$ 是可交换的。证明，如果 $M$ 可以忽略不计，则 $M_{(\mathscr{F})} = 0$。