习题 12, § 3

令$A = \prod_{i=1}^n A_i$为局部环$A_i$有限族中的乘积，规范地与A的理想一致。令B为A的子环，使得$\mathrm{pr}_i B = A_i$对应于$1 \leq i \leq n$。证明 B 是至多 n 局部环的直接合成，并且如果 $B = A$ 则只能是 n 局部环的直接合成。 （在n上继续进行归纳，考虑B的理想$a_i = B \cap A_i$。依次检查对于至少一个指标i的$a_i = A_i$的情况和对于所有i的$a_i \neq A_i$的情况。注，如果$a_i \neq A_i$，则B包含的每个最大理想$a_i$，并考虑环$B/a_i$、结论，$B$中最多有$n - 1$不同的最大理想；如果$B$不是局部环，约化则为$a_j = A$的情况，对于某些情况$j \neq i$使用归纳假设和习题 1 (b.)。）给出例，其中$n > 1$和$B$是局部环，但不与任何$A_i$同构的（将$A_i$视为代数）相同的域$K$，其最大理想$m$是零平方）。