习题 17, § 4

\* (a) 令 X 为完全不连通的紧致空间和 $\mathscr{O}$ 环超过 X 的一束，使得对于所有 $x \in X, \mathscr{O}$ ，为交换域。证明，如果 $A = \Gamma(X, \mathscr{O})$，环 A 是绝对平坦的，并且它的谱（具有束环 $\tilde{A}$）可以与 X（具有束 $\mathscr{O}$）规范地一致。 （观察对于$x \in X$的所有$f \in A$集合，使得$f_x = 0$在X中既开又闭，并推导出$g \in A$的存在性，使得$f = gf^2$。） \*

(b) 令 X 为完全不连通紧致空间，Ka（可交换）域和从 X 到 K 的局部常数映射的 A 环。证明 A 是绝对平坦的（直接论证或使用 (a)）。

(c) 设 A 为在 $I = [0, 1[$ 上定义的实值步长函数的环，其不连续性点为形式 $k/2^n$ ($n \in \mathbf{N},\ 0 \leq k < 2^n$) 并且是右连续的。令$\mathfrak{g}$为半开区间$[x, y[ \subset I$的有限并的集合，其端点为形式$k/2^n$。对于每个 $f \in A$、集合 $Z(f) = \overline{f(0)}$ 属于至 $\mathbf{3}$。如果$a$是A的理想，$Z(f)$的集合23，其中$f$贯穿$a$，则： (1) 23属于的两个集合到$\mathfrak{B}$的交； (2) $\mathfrak{g}$包含集合中的每集合，共23属于至$\mathfrak{B}$。获得逆命题。为了使$a$是素数，23是收敛到$[0, 1]$的点的滤波器的基是必要且充分的。证明 A 是绝对平坦简化的环，并且对于 A 的每个最大理想 m，$A_m$ 同构于域 $\mathbf{R}$。描述空间$\mathrm{Spec}(A)$。