习题 21, § 4

令$(A_\alpha, \phi_{\beta\alpha})$为索引集合有向的环、$A = \varprojlim A_\alpha$和$\phi_\alpha : A_\alpha \to A$典范同态的直接系统。如果我们写$X_\alpha = \operatorname{Spec}(A_\alpha)$，$(X_\alpha, {}^a\phi_{\beta\alpha})$是拓扑空间的逆系，如果$X = \operatorname{Spec}(A)$，则${}^a\phi_\alpha : X \to X_\alpha$，形式逆系是连续映射。证明$u = \varprojlim {}^a\phi_\alpha$是$X$到$\varprojlim X_\alpha$的同胚。 （首先证明，如果对于所有$a$，$p_\alpha$是$A_\alpha$的素理想，使得$p_\alpha = \phi_{\beta\alpha}^{-1}(p_\beta)$对于所有$a \leq \beta$，$\phi_\alpha(p_\alpha)$的并$p$是$A$的素理想；反之，每个素数$A$的理想$p$是$\phi_\alpha(p_\alpha)$的并，其中$p_\alpha = \phi_\alpha(p)$。最后，如果$f_\alpha \in A_\alpha$和$f = \phi_\alpha(f_\alpha)$，则注即关系$p \in X$，相当于