习题 22, § 4

(a) 令$M$为$A$模，$(N_i)$为$M$的子模的有限族。证明$M/N_i$的$M / \bigcap_i N_i$与直和子模同构的$\operatorname{Supp}\left(M / \bigcap_i N_i\right) = \bigcup_i \operatorname{Supp}(M/N_i)$(注)。

(b) 设$p$为素数数； $\mathbf{Z}$-模块$Z$的支持与$\mathbf{Z}$-模块$\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$（$k \in \mathbf{N}$）的支持的闭包并不同。

(c) 设$M$为$\mathbf{Z}$模块$\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$($k \in \mathbf{N}$)的直和；证明$\operatorname{Supp}(M)$是闭集，但与$V(a)$不同，其中$a$是$M$的湮没子。

(d) 设$N$为$\mathbf{Z}$-模块$\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$($n \geq 1$)的直和；证明$\operatorname{Supp}(N)$在$\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$中不闭。

(e) 从$A$-模块$M$的(c)和(d)例推导，如果$a$是它的湮没子，$\operatorname{Supp}(M)$不是封闭的，并且它的闭包与$V(a)$不同。

(f) 表明$\mathbf{Z}$-模块$\prod_{k=1}^m (\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z})$的支持与因子模$\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$的支持的闭包并不同。