习题 9, § 5

(a) 设 A 为环，$(f_i)_{i \in I}$ 元素生成的的有限族，理想 A 和 M A-模。假设在每个$A_{f_i}$-模块$M_{f_i}$元素$z_i$中给出，使得对于$i \neq j$，$z_i$中的典范像和$M_{f_if_j}$中的$z_j$相等，表明存在唯一的$z \in M$，使得对于所有$M_{f_i}$中$z$的$i$、典范像等于$z_i$。 （注，对于每个整数 $k > 0$，都存在 A 的元素的$(g_i)_{i \in I}$族，使得 $\sum_i g_i f_i^k = 1$。）

(b) 令 A 为环，P 为秩的射影 A-模 1。证明环 $\operatorname{End}_A(P)$ 与 A 自然同构（使用定理 3）。

(c) 设 A 为环，P 为秩 $n$ 的射影 A-模。对于 P 的每个自同态 $u$，有对应正则到 $A^n u$，通过 (b)，A 的元素 $\det(u)$，称为 $u$ 的行列式，使得 $\det(u \circ v) = (\det u)(\det v)$ 对于两个自同态 P的$u, v$。$A[T]$的元素$\chi_u(T) = \det(T \cdot 1 - u)$称为$u$的特征多项式（cf.no. 3，命题4）；证明 $\chi_u$ 是次数 $n$ 和 $\chi_u(u) = 0$ 的一元多项式（使用 (a) 和 § 3, no. 3、定理 1）。推出，要使 $u$ 成为双射，$\det(u)$ 在 A 中可逆是充分必要的。如果 A 是整环，则 $\chi_u(T) = \prod_{i=1}^n (T - \alpha_i)$ 分解变为域的代数闭扩张中 $\chi_u$ 的线性因子 A 的分数，以及每个多项式 $q \in A[T]$ 的 $\chi_{q(u)}(T) = \prod_{i=1}^n (T - q(\alpha_i))$。类似地推广代数、章VII, § 5, no. 6的命题14。