Bourbaki

习题 9, § 3

标签 04H9，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 04H9]。

交换代数, III, 247

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 设 A 为 Zariski 环，m 为 A 和 B 环上拓扑的定义理想，使得A⊂B⊂A^A \subset B \subset \hat{A}，即有限生成A-模；表明，如果 mB 在由 A^\hat{A} 上的拓扑引起的拓扑下的 B 中开路，则必然有B=AB = A（使用中山的引理）。 (b) 令 A 为交换律诺特环，m 为 A 的理想。证明，如果 A 相对于 m 进数拓扑的豪斯多夫完成A^\hat{A} 为有限生成A-模，则 A 与 m 进数拓扑完备（约化对于 A 为的情况） Hausdorff；借助 (a))，使用章 V, § 2, no. 1、命题 1 和定理 1 证明 A 是带有 m 进数拓扑和结论的 Zariski 环。 \*

解答

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