习题 6, § 1

设 A 为环，E 为 A-模。

(a) 证明对于 A 到属于到 Supp(E) 的素理想 p，存在 E 的子模 F 使得 $p \in \operatorname{Ass}(E/F)$ 是必要且充分的（要知道条件是必要的，请考虑形式 px 的 E 的子模 F，其中 $x \in E$；可见条件就足够了，应用命题 7 / no. 3）。

(b) 假设 A 是诺特并且 E 是有限生成的。证明对于每个素理想 $p \in \operatorname{Supp}(E)$，都存在 E 的合成列 $(E_i)_{0 \leq i \leq n}$，使得对于 $0 \leq i \leq n - 1$，$E_i/E_{i+1}$ 同构于 $A/p_i$，其中 $p_i$ 是一个素理想，并且 $p_i$ 之一等于 p。