习题 7, § 1

设 A 为诺特环，M 有限生成A-模和 $a = \operatorname{Ann}(M)$。

(a) 证明，如果 a 是素数，则 a 是 $\operatorname{Ass}(M)$ 中最小的元素。 （注即$a = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} p$。）

(b) 证明与 $A/a$ 相关的每个素理想都与 M 相关。（注如果 p 是类的 A 湮没子在元素 $a \in A$ 的 $A/a$ 中的素理想，则 $p = \operatorname{Ann}(aM)$ 并使用 (a)。）

(c) 令 p、q 为 A 的两个不同素理想，使得 $p \subset q$。证明，如果 $M = (A/p) \oplus (A/q)$，则$\operatorname{Ass}(A/a) \neq \operatorname{Ass}(M)$。