习题 1, § 2

(a) 证明在 $\mathbf{Z}$ 上的一个不定中的诺特多项式环 $A = \mathbf{Z}[X]$ 中，理想的 $m = 2A + AX$ 是最大的，并且理想的 $q = 4A + AX$ 是 m 初等的，但不等于 m 的幂。

(b) 在环 $B = \mathbf{Z}[2X, X^2, X^3] \subset A$ 即诺特中，证明理想的 $p = 2BX + BX^2$ 是素数，但 $p^2$ 不是 p 初数，尽管其根式等于 p。

(c) 令 K 为交换域，并且由 $Z^2 - XY$ 生成的理想为 $K[X, Y, Z]$ 的 A 商环；令x、y、z为A中X、Y、Z的典范像。证明$p = Ax + Az$是质数，$p^2$不是质数，$p^2 = a \cap b^2$是$p^2$的初等分解，其中$a = Ax$和$b = Ax + Ay + Az$。