习题 19, § 1

(a) 设 A 为积分闭域，K 为分数的域，L K 的可分离代数扩张，L 的 x 元素在 A、K' 域 K(x) ⊂ L 和 F 上积分x 在 K 上的最小多项式。如果 x 在 K 上为次数 n，则证明 K' 中 A 的积分闭包包含在由 K' 的元素 1/F'(x), x/F'(x), ..., x^{n-1}/F'(x) 生成的 A-模中。 （如果 z ∈ K' 是 A 上的整数，则写

zF'(x) = g(x)，其中 g(X) = b_0 + b_1X + ... + b_{n-1}X^{n-1} ∈ K[X]。

借助拉格朗日插值公式证明

(b) 令$A$为积分闭域，$K$为分数的域，$p$为$K$的特征指数。假设$A$的元素的第$p$第根的$K^{1/p}$由……组成的子环$A^{1/p}$是有限生成的$A$模。证明对于$K$的每个有限扩张$E$，$E$中$A$的积分闭包是有限生成的$A$模（约化对于$E$是拟伽罗瓦扩展的情况）。