习题 23, § 1

(a) 设 K 为交换域，n 整数与 K 的特征素数，P 为 $K[X]$ 中的多项式，仅具有简单的根（在 K 的代数闭包中）。 If we write $f(X, Y) = Y^n - P(X)$, show that, if K contains the n-th roots of unity, the domain $A = K[X, Y]/(f)$ is integrally closed and has in its field of fractions the separable extension L of $K(X)$ generated by a root y of $f$ (considered as a polynomial in $K(X)[Y]$). (Show that, if an element z of L is integral over $K[X]$, it belongs to A; for this, write $z$ in the form

where $a_i(X) \in K(X)$. 证明元素 $a_i(X) y^i$ ($0 \leq i \leq n-1$) 对 $K[X]$ 是积分，并推导出 $(a_i(X))^n (P(X))^i$ 是 $K[X]$ 的元素； 结论 $a_i(X)$ 也是如此。） (b) 假设 K 是特征 $p \neq 2$ 的不完美域；让$a \in K$是元素而不是属于到$K^p$，让E是域$K(a^{1/p})$，让我们写成$P(X) = X^p - a, f(X, Y) = Y^2 - P(X)$。 如果A是整闭域$K[X, Y]/(f)$，则证明$B = E \otimes_K A$是整环但不是整闭域（考虑B的分数域元素$y/(X - a^{1/p})$）。