习题 29, § 1

令k为特征$\neq 2$的域，一个不定中的A多项式环$k[T]$和$a, b$k的两个元素，使得$a \neq 0, b \neq 0$和$a \neq b$。设$K = k(T)$为A的分数域和与K相邻的K的L、M扩张，分别为$X^2 - T(T - a)$的根和$X^2 - T(T - b)$的根。设B、C分别为A在L和M中的积分闭包，它们是有限生成的自由A-模。证明$L \otimes_K M$是域，K的可分离有限扩张，但是与$L \otimes_K M$的子环规范地等同的$B \otimes_A C$不是A在$L \otimes_K M$中的积分闭包。